Derivat vs differensial
I differensialregning er derivert og differensial av en funksjon nært beslektet, men har svært forskjellige betydninger, og brukes til å representere to viktige matematiske objekter relatert til differensierbare funksjoner.
Hva er derivat?
Deriverte av en funksjon måler hastigheten som funksjonsverdien endres med når inndata endres. I multivariable funksjoner avhenger endringen i funksjonsverdien av retningen for endringen av verdiene til de uavhengige variablene. Derfor, i slike tilfeller, velges en bestemt retning og funksjonen differensieres i den bestemte retningen. Den deriverten kalles retningsderiverten. Partielle derivater er en spesiell type retningsderivater.
Deriverte av en vektorverdifunksjon f kan defineres som grensen [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] uansett hvor det finnes endelig. Som nevnt før gir dette oss økningshastigheten til funksjonen f langs retningen til vektoren u. Når det gjelder en funksjon med én verdi, reduseres dette til den velkjente definisjonen av den deriverte, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
For eksempel er [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] differensierbar over alt, og den deriverte er lik grensen, [latex]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], som er lik [latex]3x^{2}+4[/latex]. Derivatene av funksjoner som [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] finnes over alt. De er henholdsvis lik funksjonene [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Dette er kjent som den første deriverte. Vanligvis er den første deriverte av funksjon f betegnet med f (1) Ved å bruke denne notasjonen, er det mulig å definere høyere ordensderiverte. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] er andreordens retningsderiverte, og angir n th deriverte med f (n) for hver n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], definerer n th-deriverten.
Hva er differensial?
Differensial av en funksjon representerer endringen i funksjonen med hensyn til endringer i den uavhengige variabelen eller variablene. I den vanlige notasjonen, for en gitt funksjon f av en enkelt variabel x, er den totale differensialen av orden 1 df gitt av, [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]. Dette betyr at for en uendelig liten endring i x (dvs. d x), vil det være en f (1)(x)d x endring i f.
Ved å bruke grenser kan man ende opp med denne definisjonen som følger. Anta at ∆ x er endringen i x ved et vilkårlig punkt x og ∆ f er den tilsvarende endringen i funksjonen f. Det kan vises at ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, hvor ϵ er feilen. Nå er grensen ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x)) (ved bruk av den tidligere angitte definisjonen av derivat) og dermed ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Derfor er det mulig å konkluder med at ∆ x→ 0 ϵ=0. Nå, angir ∆ x→ 0 ∆ f som d f og ∆ x→ 0 ∆ x som d x, er definisjonen av differensialen strengt oppnådd.
For eksempel er differensialen til funksjonen [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] [latex](3x^{2}+4)dx[/latex].
Når det gjelder funksjoner av to eller flere variabler, er den totale differensialen til en funksjon definert som summen av differensialer i retningene til hver av de uavhengige variablene. Matematisk kan det angis som [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
Hva er forskjellen mellom derivat og differensial?
• Derivativ refererer til endringshastigheten til en funksjon, mens differensialen refererer til den faktiske endringen av funksjonen når den uavhengige variabelen er utsatt for endring.
• Den deriverte er gitt av [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex], men differensialen er gitt av [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex].
