Forskjellen mellom derivat og integral

2024 Forfatter: Alex Aldridge | [email protected]. Sist endret: 2023-12-17 13:46

Derivat vs integral

Differensiering og integrasjon er to grunnleggende operasjoner i Calculus. De har mange bruksområder innen flere felt, som matematikk, ingeniørfag og fysikk. Både derivater og integraler diskuterer oppførselen til en funksjon eller oppførsel til en fysisk enhet som vi er interessert i.

Hva er derivat?

Anta at y=ƒ(x) og x₀ er i domenet til ƒ. Deretter lim_Δx→∞Δy/Δx=lim_Δx→∞[ƒ(x ₀+Δx) − ƒ(x₀)]/Δx kalles den øyeblikkelige endringshastigheten til ƒ ved x_{0, forutsatt at denne grensen eksisterer endelig. Denne grensen kalles også den deriverte av at og er betegnet med ƒ(x).}

Verdien av den deriverte av en funksjon f i et vilkårlig punkt x i funksjonens domene er gitt av lim_{Δx→∞ [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. Dette er angitt med ett av følgende uttrykk: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, D}x_y.

For funksjoner med flere variabler definerer vi partiell derivert. Den partielle deriverte av en funksjon med flere variabler er dens deriverte med hensyn til en av disse variablene, forutsatt at de andre variablene er konstanter. Symbolet for den partielle deriverte er ∂.

Geometrisk kan den deriverte av en funksjon tolkes som helningen til kurven til funksjonen ƒ(x).

Hva er integral?

Integrasjon eller anti-differensiering er den omvendte prosessen med differensiering. Med andre ord er det prosessen med å finne en opprinnelig funksjon når den deriverte av funksjonen er gitt. Derfor kan en integral eller en anti-derivert av en funksjon ƒ(x) if, ƒ(x)=F (x) defineres som funksjonen F (x), for alle x i domenet til ƒ(x).

Uttrykket ∫ƒ(x) dx angir den deriverte av funksjonen ƒ(x). Hvis ƒ(x)=F (x), så kalles ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, hvor C er en konstant, ∫ƒ(x) dx kalles det ubestemte integralet av ƒ(x).

For enhver funksjon ƒ, som ikke nødvendigvis er ikke-negativ, og definert på intervallet [a, b], _a∫^{b ƒ(x) dx kalles det bestemte integralet ƒ på [a, b].}

Det bestemte integralet _a∫^{bƒ(x) dx av en funksjon ƒ(x) kan tolkes geometrisk som arealet av område avgrenset av kurven ƒ(x), x-aksen og linjene x=a og x=b.}

Hva er forskjellen mellom derivat og integral?

• Derivativ er resultatet av prosessdifferensieringen, mens integral er resultatet av prosessintegrasjonen.

• Deriverte av en funksjon representerer stigningstallet til kurven ved et gitt punkt, mens integral representerer arealet under kurven.