Forskjellen mellom integrasjon og summering

2024 Forfatter: Alex Aldridge | [email protected]. Sist endret: 2023-12-17 13:46

Integrasjon vs Summation

I matematikk på videregående skole er integrasjon og summering ofte funnet i matematiske operasjoner. De brukes tilsynelatende som forskjellige verktøy og i forskjellige situasjoner, men de deler et veldig nært forhold.

Mer om oppsummering

Summering er operasjonen med å legge til en sekvens av tall, og operasjonen er ofte betegnet med den greske bokstaven med stor sigma Σ. Den brukes til å forkorte summeringen og lik summen/totalen av sekvensen. De brukes ofte til å representere seriene, som i hovedsak er uendelige sekvenser oppsummert. De kan også brukes til å angi summen av vektorer, matriser eller polynomer.

Summeringen gjøres vanligvis for en rekke verdier som kan representeres av en generell term, for eksempel en serie som har en felles term. Startpunktet og sluttpunktet for summeringen er kjent som henholdsvis nedre grense og øvre grense for summeringen.

For eksempel summen av sekvensen a₁, a₂, a₃, a ₄, …, a_n er a₁ + a₂ + a ₃ + … + a_n som enkelt kan representeres ved å bruke summeringsnotasjonen som ∑ _i=1 a_{i; i kalles summeringsindeksen.}

Mange varianter brukes for summeringen basert på applikasjonen. I noen tilfeller kan den øvre og nedre grensen angis som et intervall eller et område, for eksempel ∑_1≤i≤100 a_i og ∑_{i∈[1, 100]} a_i Eller det kan gis som et sett med tall som ∑_i∈P a_{i, der P er et definert sett.}

I noen tilfeller kan to eller flere sigma-tegn brukes, men de kan generaliseres som følger; ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

Summeringen følger også mange algebraiske regler. Siden den innebygde operasjonen er addisjonen, kan mange av de vanlige reglene for algebra brukes på selve summene og for de individuelle termene som er avbildet av summeringen.

Mer om integrering

Integrasjonen er definert som den omvendte differensieringsprosessen. Men i sin geometriske visning kan den også betraktes som området som er omsluttet av kurven til funksjonen og aksen. Derfor gir beregning av arealet verdien av et bestemt integral som vist i diagrammet.

Bildekilde:

Verdien av det bestemte integralet er faktisk summen av de små stripene inne i kurven og aksen. Arealet til hver stripe er høyde × bredde på punktet på aksen som vurderes. Bredde er en verdi vi kan velge, si ∆x. Og høyden er omtrentlig verdien av funksjonen ved det betraktede punktet, si f (x_{i). Fra diagrammet er det tydelig at jo mindre stripene er bedre passer stripene innenfor det avgrensede området, og dermed bedre tilnærming av verdien.}

Så, generelt sett kan det bestemte integralet I, mellom punktene a og b (dvs. i intervallet [a, b] hvor a<b), gis som I ≅ f (x_{1)∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x, der n er antall strimler (n=(b-a)/∆x). Denne summeringen av området kan enkelt representeres ved å bruke summeringsnotasjonen som I ≅ ∑}i=1 _{f (x}i)∆x. Siden tilnærmingen er bedre når ∆x er mindre, kan vi beregne verdien når ∆x→0. Derfor er det rimelig å si I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

Som en generalisering fra konseptet ovenfor, kan vi velge ∆x basert på det betraktede intervallet indeksert med i (velge bredden på området basert på posisjonen). Da får vi

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x) i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

Dette er kjent som Reimann-integralet til funksjonen f (x) i intervallet [a, b]. I dette tilfellet er a og b kjent som den øvre og nedre grensen for integralet. Reimann-integral er en grunnleggende form for alle integreringsmetoder.

I hovedsak er integrasjon summeringen av arealet når bredden på rektangelet er uendelig liten.

Hva er forskjellen mellom integrasjon og summering?

• Summering er summering av en rekke tall. Vanligvis er summeringen gitt i denne formen ∑_i=1 a_{i når termene i sekvensen har et mønster og kan uttrykkes med en generell term.}

• Integrasjon er i utgangspunktet området avgrenset av kurven til funksjonen, aksen og øvre og nedre grenser. Dette arealet kan gis som summen av mye mindre områder inkludert i det avgrensede området.

• Summasjon involverer de diskrete verdiene med øvre og nedre grenser, mens integrasjonen involverer kontinuerlige verdier.

• Integrasjon kan tolkes som en spesiell form for summering.

• I numeriske beregningsmetoder utføres integrasjon alltid som en summering.