Hyperbola vs Ellipse
Når en kjegle kuttes i forskjellige vinkler, markeres forskjellige kurver av kanten på kjeglen. Disse kurvene kalles ofte kjeglesnittene. Mer presist er et kjeglesnitt en kurve oppnådd ved å skjære en rett sirkulær kjegleflate med en plan overflate. Ved forskjellige skjæringsvinkler er det gitt forskjellige kjeglesnitt.
Både hyperbel og ellipse er kjeglesnitt, og forskjellene deres kan enkelt sammenlignes i denne sammenhengen.
Mer om Ellipse
Når skjæringspunktet mellom den koniske overflaten og den plane overflaten produserer en lukket kurve, er det kjent som en ellipse. Den har en eksentrisitet mellom null og én (0<e<1). Det kan også defineres som stedet for settet med punkter på et plan slik at summen av avstandene til punktet fra to faste punkter forblir konstant. Disse to faste punktene er kjent som "foci". (Husk; i elementære mattetimer tegnes ellipsene ved hjelp av en streng knyttet til to faste pinner, eller en strengløkke og to pinner.)
Linjesegmentet som går gjennom brennpunktene er kjent som hovedaksen, og aksen vinkelrett på hovedaksen og som går gjennom midten av ellipsen er kjent som den lille aksen. Diametrene langs hver akse er kjent som henholdsvis tverrdiameteren og konjugatdiameteren. Halvparten av hovedaksen er kjent som semi-major-aksen, og halvparten av mol-aksen er kjent som semi-major-aksen.
Hvert punkt F1 og F2 er kjent som brennpunktene til ellipsen og lengdene F1 + PF2 =2a, der P er et vilkårlig punkt på ellipsen. Eksentrisitet e er definert som forholdet mellom avstanden fra et fokus til det vilkårlige punktet (PF 2) og den perpendikulære avstanden til det vilkårlige punktet fra retningslinjen (PD). Den er også lik avstanden mellom de to brennpunktene og semi-hovedaksen: e=PF/PD=f/a
Den generelle ligningen for ellipsen, når semi-hovedaksen og semi-molaksen faller sammen med de kartesiske aksene, er gitt som følger.
x2/a2 + y2/b2=1
Ellipsens geometri har mange bruksområder, spesielt innen fysikk. Banene til planetene i solsystemet er elliptiske med solen som ett fokus. Reflektorene for antenner og akustiske enheter er laget i elliptisk form for å utnytte det faktum at enhver emisjon fra et fokus vil konvergere mot det andre fokuset.
Mer om Hyperbola
Hyperbelen er også et kjeglesnitt, men det er åpent. Begrepet hyperbel er referert til de to frakoblede kurvene vist i figuren. I stedet for å lukke seg som en ellipse, fortsetter armene eller grenene til hyperbelen til det uendelige.
Punktene der de to grenene har kortest avstand mellom seg, kalles toppunktene. Linjen som går gjennom hjørnene regnes som hovedaksen eller tverraksen, og den er en av hovedaksene til hyperbelen. De to fociene til parablen ligger også på hovedaksen. Midtpunktet på linjen mellom de to toppunktene er sentrum, og lengden på linjestykket er halvhovedaksen. Den vinkelrette halveringslinjen til semi-hovedaksen er den andre hovedaksen, og de to kurvene til hyperbelen er symmetriske rundt denne aksen. Eksentrisiteten til parabelen er større enn én; e > 1.
Hvis hovedaksene sammenfaller med de kartesiske aksene, er den generelle ligningen for hyperbelen av formen:
x2/a2 – y2/b2=1,
der a er halvhovedaksen og b er avstanden fra sentrum til begge fokusene.
Hyperbelene med åpne ender vendt mot x-aksen er kjent som øst-vest hyperbelene. Lignende hyperbler kan også oppnås på y-aksen. Disse er kjent som y-aksehyperbler. Ligningen for slike hyperbler har formen
y2/a2 – x2/b2=1
Hva er forskjellen mellom Hyperbola og Ellipse?
• Både ellipser og hyperbel er kjeglesnitt, men ellipsen er en lukket kurve mens hyperbelen består av to åpne kurver.
• Derfor har ellipsen begrenset omkrets, men hyperbelen har en uendelig lengde.
• Begge er symmetriske rundt hoved- og molaksen, men posisjonen til retningslinjen er forskjellig i hvert tilfelle. I ellipsen ligger den utenfor halvhovedaksen, mens den i hyperbel ligger i halvhovedaksen.
• Eksentrisitetene til de to kjeglesnittene er forskjellige.
0 <eEllipse < 1
eHyperbola > 0
• Den generelle ligningen for de to kurvene ser like ut, men de er forskjellige.
• Halveringsvinkel på hovedaksen skjærer kurven i ellipsen, men ikke i hyperbelen.
(Bildekilde: Wikipedia)
