Forskjellen mellom aritmetisk sekvens og geometrisk sekvens

2024 Forfatter: Alex Aldridge | [email protected]. Sist endret: 2024-01-17 23:42

Aritmetisk sekvens vs geometrisk sekvens

Studien av tallmønstre og deres oppførsel er en viktig studie innen matematikk. Ofte kan disse mønstrene sees i naturen og hjelper oss å forklare oppførselen deres i et vitenskapelig synspunkt. Aritmetiske sekvenser og geometriske sekvenser er to av de grunnleggende mønstrene som forekommer i tall, og ofte finnes i naturfenomener.

Sekvensen er et sett med ordnede tall. Antall elementer i sekvensen kan enten være endelig eller uendelig.

Mer om aritmetisk sekvens (aritmetrisk progresjon)

En aritmetisk sekvens er definert som en sekvens av tall med en konstant forskjell mellom hvert påfølgende ledd. Det er også kjent som aritmetisk progresjon.

Arithmetic Sequnece ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; hvor a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d, og så videre.}

Hvis startleddet er a₁ og den vanlige forskjellen er d, så er n^{th ledd i sekvensen gitt av;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Ved å ta resultatet ovenfor videre, kan termen n^{th også gis som;}

a_n =a_m + (n-m)d, der a_{m er et tilfeldig begrep i sekvensen slik at n > m.}

Sammen med partall og settet med oddetall er de enkleste eksemplene på aritmetiske sekvenser, der hver sekvens har en felles forskjell (d) på 2.

Antallet ledd i en sekvens kan enten være uendelig eller endelig. I det uendelige tilfellet (n → ∞), har sekvensen en tendens til uendelig avhengig av den vanlige forskjellen (a_{n → ±∞). Hvis felles forskjell er positiv (d > 0), har sekvensen en tendens til positiv uendelig, og hvis felles forskjell er negativ (d < 0), tenderer den til negativ uendelig. Hvis leddene er endelige, er sekvensen også endelig.}

Summen av leddene i den aritmetiske sekvensen er kjent som aritmetikkserien: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{og S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] gir verdien av serie (S}n)

Mer om geometrisk sekvens (geometrisk progresjon)

En geometrisk sekvens er definert som en sekvens der kvotienten av to påfølgende ledd er en konstant. Dette er også kjent som geometrisk progresjon.

Geometrisk sekvens ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; der a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r, og så videre, der r er et reelt tall.}

Det er lettere å representere den geometriske sekvensen ved å bruke fellesforholdet (r) og det første leddet (a). Derav den geometriske sekvensen ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

Den generelle formen for n^th vilkår gitt av a_n =a₁r ^n-1. (Mister abonnementet på den første terminen ⇒ a_n =ar^n-1)

Den geometriske sekvensen kan også være endelig eller uendelig. Hvis antall ledd er endelig, sies rekkefølgen å være endelig. Og hvis leddene er uendelige, kan sekvensen enten være uendelig eller endelig avhengig av forholdet r. Fellesforholdet påvirker mange av egenskapene i geometriske sekvenser.

r > o	0 < r < +1	Sekvensen konvergerer – eksponentiell forfall, dvs. an → 0, n → ∞
	r=1	Konstant sekvens, dvs. an=konstant
	r > 1	Sekvensen divergerer – eksponentiell vekst, dvs. an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Sekvensen svinger, men konvergerer
	r=1	Rekkefølgen er vekslende og konstant, dvs. an=±konstant
	r < -1	Rekkefølgen er vekslende og divergerer. dvs. an → ±∞, n → ∞
r=0	Sekvensen er en streng med nuller

N. B: I alle tilfellene ovenfor, a₁ > 0; hvis a₁ < 0, vil skiltene knyttet til a_{n bli invertert.}

Tidsintervallet mellom sprett av en ball følger en geometrisk sekvens i den ideelle modellen, og det er en konvergent sekvens.

Summen av leddene i den geometriske sekvensen er kjent som en geometrisk serie; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. Summen av den geometriske rekken kan beregnes ved hjelp av følgende formel.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); der a er startleddet og r er forholdet.}

Hvis forholdet, r ≤ 1, konvergerer serien. For en uendelig serie er verdien av konvergens gitt av S_n=a/(1-r)

Hva er forskjellen mellom aritmetisk og geometrisk sekvens/progresjon?

• I en aritmetisk sekvens har alle to påfølgende ledd en felles forskjell (d), mens i geometrisk sekvens har alle to påfølgende ledd en konstant kvotient (r).

• I en aritmetisk rekkefølge er variasjonen av leddene lineær, dvs. en rett linje kan trekkes gjennom alle punktene. I en geometrisk serie er variasjonen eksponentiell; enten vokser eller forfaller basert på det vanlige forholdet.

• Alle uendelige aritmetiske sekvenser er divergerende, mens uendelige geometriske rekker enten kan være divergent eller konvergent.

• Den geometriske serien kan vise oscillasjon hvis forholdet r er negativt mens den aritmetiske serien ikke viser oscillasjon