Forskjellen mellom lineær ligning og ikke-lineær ligning

2024 Forfatter: Alex Aldridge | [email protected]. Sist endret: 2023-12-17 13:46

Lineær ligning vs ikke-lineær ligning

I matematikk er algebraiske likninger likninger, som er dannet ved hjelp av polynomer. Når eksplisitt skrevet vil likningene ha formen P(x)=0, hvor x er en vektor av n ukjente variabler og P er et polynom. For eksempel er P(x, y)=4x⁵ + xy³ + y + 10=0 en algebraisk ligning i to variabler skrevet eksplisitt. Dessuten er (x+y)³ =3x²y – 3zy⁴ en algebraisk ligning, men i implisitt form, og den vil ha formen Q(x, y, z)=x³ + y³ + 3xy ² +3zy^{4=0, en gang skrevet eksplisitt.}

En viktig egenskap ved en algebraisk ligning er graden. Det er definert til å være den høyeste potensen av begrepene som forekommer i ligningen. Hvis et ledd består av to eller flere variabler, vil summen av eksponentene til hver variabel anses å være potensen til leddet. Legg merke til at i henhold til denne definisjonen er P(x, y)=0 av grad 5, mens Q(x, y, z)=0 er av grad 5.

Lineære ligninger og ikke-lineære ligninger er en to-partisjon definert på settet med algebraiske ligninger. Graden av ligningen er faktoren som skiller dem fra hverandre.

Hva er en lineær ligning?

En lineær ligning er en algebraisk ligning av grad 1. For eksempel er 4x + 5=0 en lineær ligning av én variabel. x + y + 5z=0 og 4x=3w + 5y + 7z er lineære ligninger av henholdsvis 3 og 4 variabler. Generelt vil en lineær ligning med n variable ha formen m₁x₁ + m₂x ₂ +…+ m_n-1x_n-1 + m_{n x}n _{=b. Her er x}i _{de ukjente variablene, m}i _{og b er reelle tall der hver av m}i _{er ikke-null.}

En slik ligning representerer et hyperplan i det n-dimensjonale euklidiske rom. Spesielt representerer en lineær ligning med to variable en rett linje i kartesisk plan og en lineær ligning med tre variable representerer et plan på euklidisk 3-rom.

Hva er en ikke-lineær ligning?

En kvadratisk ligning er en algebraisk ligning, som ikke er lineær. Med andre ord, en ikke-lineær ligning er en algebraisk ligning av grad 2 eller høyere. x² + 3x + 2=0 er en enkelt variabel ikke-lineær ligning. x² + y³+ 3xy=4 og 8yzx² + y²+ 2z^{2 + x + y + z=4 er eksempler på ikke-lineære ligninger med henholdsvis 3 og 4 variabler.}

En annengrads ikke-lineær ligning kalles en kvadratisk ligning. Hvis graden er 3, kalles det en kubikkligning. Grad 4- og grad 5-ligningene kalles henholdsvis quartic- og quintic-ligninger. Det har blitt bevist at det ikke eksisterer en analytisk metode for å løse noen ikke-lineær ligning av grad 5, og dette er sant for noen høyere grad også. Løsbare ikke-lineære ligninger representerer hyperflater som ikke er hyperplan.

Hva er forskjellen mellom lineær ligning og ikke-lineær ligning?

• En lineær ligning er en algebraisk ligning av grad 1, men en ikke-lineær ligning er en algebraisk ligning av grad 2 eller høyere.

• Selv om enhver lineær ligning er analytisk løsbar, er det ikke tilfelle i ikke-lineære ligninger.

• I det n-dimensjonale euklidiske rommet er løsningsrommet til en n-variabel lineær ligning et hyperplan, mens det til en n-variabel ikke-lineær ligning er en hyperflate, som ikke er et hyperplan. (Quadrics, kubikkflater og etc.)