Parallelogram vs Rectangle
Parallelogram og rektangel er firkanter. Geometrien til disse figurene var kjent for mennesket i tusenvis av år. Emnet er eksplisitt behandlet i boken "Elementer" skrevet av den greske matematikeren Euclid.
Parallelogram
Parallelogram kan defineres som den geometriske figuren med fire sider, med motsatte sider parallelle med hverandre. Mer presist er det en firkant med to par parallelle sider. Denne parallelle naturen gir mange geometriske egenskaper til parallellogrammene.
En firkant er et parallellogram hvis følgende geometriske karakteristikker blir funnet.
• To par motstående sider er like lange. (AB=DC, AD=BC)
• To par motstående vinkler er like store. ([latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• Hvis de tilstøtende vinklene er supplerende [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Et par sider, som er motsatte hverandre, er parallelle og like lange. (AB=DC & AB∥DC)
• Diagonalene halverer hverandre (AO=OC, BO=OD)
• Hver diagonal deler firkanten i to kongruente trekanter. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Videre er summen av kvadratene på sidene lik summen av kvadratene av diagonaler. Dette blir noen ganger referert til som parallellogramloven og har utbredte anvendelser innen fysikk og ingeniørfag. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Hver av egenskapene ovenfor kan brukes som egenskaper når det er fastslått at firkanten er et parallellogram.
Areal av parallellogrammet kan beregnes ved produktet av lengden på den ene siden og høyden til den motsatte siden. Derfor kan arealet av parallellogrammet angis som
Area av parallellogram=base × høyde=AB×h
Arealet til parallellogrammet er uavhengig av formen til det individuelle parallellogrammet. Den er kun avhengig av lengden på basen og den vinkelrette høyden.
Hvis sidene av et parallellogram kan representeres av to vektorer, kan arealet oppnås ved størrelsen på vektorproduktet (kryssproduktet) til de to tilstøtende vektorene.
Hvis sidene AB og AD er representert med henholdsvis vektorene ([latex]\overhøyrepil{AB}[/latex]) og ([latex]\overhøyrepil{AD}[/latex]), arealet av parallellogram er gitt av [latex]\venstre | \overrightarrow{AB}\ ganger \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], der α er vinkelen mellom [latex]\overhøyrepil{AB}[/latex] og [latex]\overhøyrepil{AD}[/latex].
Følgende er noen avanserte egenskaper for parallellogrammet;
• Arealet av et parallellogram er to ganger arealet av en trekant skapt av en hvilken som helst av diagonalene.
• Arealet av parallellogrammet er delt i to av en linje som går gjennom midtpunktet.
• Enhver ikke-degenerert affin transformasjon tar et parallellogram til et annet parallellogram
• Et parallellogram har rotasjonssymmetri av orden 2
• Summen av avstandene fra ethvert indre punkt i et parallellogram til sidene er uavhengig av plasseringen til punktet
Rektangel
En firkant med fire rette vinkler er kjent som et rektangel. Det er et spesielt tilfelle av parallellogrammet der vinklene mellom to tilstøtende sider er rette vinkler.
I tillegg til alle egenskapene til et parallellogram, kan ytterligere egenskaper gjenkjennes når man vurderer rektangelets geometri.
• Hver vinkel ved toppunktene er en rett vinkel.
• Diagonalene er like lange, og de halverer hverandre. Derfor er de todelte seksjonene også like lange.
• Lengden på diagonalene kan beregnes ved hjelp av Pythagoras' teorem:
PQ2 + PS2 =SQ2
• Arealformelen reduseres til produktet av lengde og bredde.
Area av rektangel=lengde × bredde
• Mange symmetriske egenskaper finnes på et rektangel, for eksempel;
– Et rektangel er syklisk, der alle toppunktene kan plasseres på omkretsen av en sirkel.
– Den er likekantet, der alle vinklene er like.
– Den er isogonal, der alle hjørner ligger innenfor samme symmetribane.
– Den har både refleksjonssymmetri og rotasjonssymmetri.
Hva er forskjellen mellom parallellogram og rektangel?
• Parallelogram og rektangel er firkanter. Rektangel er et spesi altilfelle av parallellogrammene.
• Arealet av en hvilken som helst kan beregnes ved å bruke formelen base ×høyde.
• Med tanke på diagonalene;
– Diagonalene til parallellogrammet halverer hverandre, og halverer parallellogrammet for å danne to kongruente trekanter.
– Diagonalene til rektangelet er like lange og halverer hverandre; todelte seksjoner er like lange. Diagonalene deler rektangelet i to kongruente rette trekanter.
• Med tanke på de indre vinklene;
– Motstående indre vinkler i parallellogrammet er like store. To tilstøtende indre vinkler er supplerende
– Alle fire indre vinkler i rektangelet er rette vinkler.
• Med tanke på sidene;
– I et parallellogram er summen av kvadratene av sidene lik summen av kvadratene til diagonalen (parallelogramloven)
– I rektangler er summen av kvadratene av de to tilstøtende sidene lik kvadratet på diagonalen i endene. (Pythagoras regel)
