Forskjellen mellom lineær ligning og kvadratisk ligning

2024 Forfatter: Alex Aldridge | [email protected]. Sist endret: 2023-12-17 13:46

Lineær ligning vs kvadratisk ligning

I matematikk er algebraiske ligninger ligninger som er dannet ved hjelp av polynomer. Når eksplisitt skrevet vil likningene ha formen P(x)=0, hvor x er en vektor av n ukjente variabler og P er et polynom. For eksempel, P(x, y)=x⁴ + y³ + x²y + 5=0 er en algebraisk ligning av to variabler skrevet eksplisitt. Dessuten er (x+y)³=3x²y – 3zy⁴ en algebraisk ligning, men i implisitt form. Det vil ha formen Q(x, y, z)=x³ + y³ + 3xy² +3zy^{4=0, en gang skrevet eksplisitt.}

En viktig egenskap ved en algebraisk ligning er graden. Det er definert til å være den høyeste potensen av begrepene som forekommer i ligningen. Hvis et ledd består av to eller flere variabler, vil summen av eksponentene til hver variabel anses å være potensen til leddet. Legg merke til at i henhold til denne definisjonen er P(x, y)=0 av grad 4 mens Q(x, y, z)=0 er av grad 5.

Lineære ligninger og kvadratiske ligninger er to forskjellige typer algebraiske ligninger. Graden av ligningen er faktoren som skiller dem fra resten av de algebraiske ligningene.

Hva er en lineær ligning?

En lineær ligning er en algebraisk ligning av grad 1. For eksempel er 4x + 5=0 en lineær ligning av én variabel. x + y + 5z=0 og 4x=3w + 5y + 7z er lineære ligninger av henholdsvis 3 og 4 variabler. Generelt vil en lineær ligning med n variable ha formen m₁x₁+m 2_x2_{+…+ m}n-1_{x n-1}+ m_nx_n =b. Her er x_i de ukjente variablene, m_i og b er reelle tall der hver av m_i er ikke-null.

En slik ligning representerer et hyperplan i det n-dimensjonale euklidiske rom. Spesielt representerer en lineær ligning med to variable en rett linje i kartesisk plan og en lineær ligning med tre variable representerer et plan på euklidisk 3-rom.

Hva er en andregradsligning?

En andregradsligning er en algebraisk likning av andre grad. x² + 3x + 2=0 er en annengradsligning med én variabel. x² + y² + 3x=4 og 4x² + y²+ 2z^{2 + x + y + z=4 er eksempler på andregradslikninger med henholdsvis 2 og 3 variabler.}

I enkeltvariabeltilfellet er den generelle formen for en kvadratisk ligning ax² + bx + c=0. Der a, b, c er reelle tall hvorav 'a' er ikke-null. Diskriminanten ∆=(b^{2 – 4ac) bestemmer arten av røttene til den kvadratiske ligningen. Røttene til ligningen vil være reelt distinkte, reelle like og komplekse ettersom ∆ er positiv, null og negativ. Røttene til ligningen kan enkelt finnes ved å bruke formelen x=(- b ± √∆) / 2a.}

I tilfellet med to variable vil den generelle formen være ax² + by^{2 + cxy + dx + ex + f=0, og dette representerer en kjegle (parabel, hyperbel eller ellipse) i kartesisk plan. I høyere dimensjoner representerer denne typen ligninger hyperflater kjent som quadrics.}

Hva er forskjellen mellom lineære og andregradslikninger?

• En lineær ligning er en algebraisk ligning av grad 1, mens en andregradsligning er en algebraisk ligning av grad 2.

• I det n-dimensjonale euklidiske rommet er løsningsrommet til en n-variabel lineær ligning et hyperplan mens det til en n-variabel kvadratisk ligning er en kvadratisk overflate.