Reelle tall vs imaginære tall
Tall er matematiske objekter som brukes til å telle og måle. Definisjonen av det har endret seg gjennom årene med tillegg av null, negative tall, rasjonelle tall, irrasjonelle tall og imaginære tall. Selv om det abstrakte grunnlaget for tallsystemer relaterer seg til algebraiske strukturer som grupper, ringer og felt, presenteres bare en intuitiv idé her.
Hva er et reelt tall?
Uformelt definerende, et reelt tall er et tall hvis kvadrat er ikke-negativt. I matematisk notasjon betegner vi settet med reelle tall med symbolet R. Derfor for alle x, hvis x ϵ R så x 2 ≥ 0. Kan på en mer streng måte introdusere settet med reelle tall som det unike, komplette tot alt ordnede feltet med den binære operasjonen + og. sammen med ordensrelasjonen <. Denne ordensrelasjonen følger trikotomiloven, som sier at gitt to reelle tall x og y, gjelder én og bare én av disse 3; x > y, x < y eller x=y.
Et reelt tall kan enten være algebraisk eller transcendent alt avhengig av om det er en rot av en polynomligning med heltallskoeffisienter eller ikke. Dessuten kan et reelt tall enten være rasjonelt eller irrasjonelt avhengig av om det kan uttrykkes som et forhold mellom to heltall eller ikke. For eksempel er 2,5 et reelt tall, som er algebraisk og rasjonelt, men ᴫ er irrasjonelt så vel som transcendent alt.
Settet med reelle tall er komplett. Det betyr at for hver ikke-tom delmengde av reelle tall som er avgrenset over, har en minste øvre grense, og fra dette kan det utledes at for hver ikke-tom delmengde av reelle tall som er avgrenset under, har den største nedre grensen. Dette skiller settet med reelle tall fra settet med rasjonelle tall. Man kan argumentere for at settet med reelle tall bygges ved å fylle hullene i settet med ufullstendige rasjonelle tall, idet gapene er irrasjonelle tall.
Hva er et tenkt tall?
Et imaginært tall er et tall hvis kvadrat er negativt. Med andre ord, tall som √(-1), √(-100) og √(- e) er imaginære tall. Alle de imaginære tallene kan skrives i formen a i hvor i er den ‘imaginære enheten’ √(-1) og a er et reelt tall som ikke er null. (Se at i2=-1). Selv om disse tallene ser ut til å være uvirkelige og som navnet antyder ikke-eksisterende, brukes de i mange viktige virkelige applikasjoner, innen felt som luftfart, elektronikk og ingeniørfag.
Hva er forskjellen mellom reelle tall og imaginære tall?• Kvadraten til et reelt tall er ikke-negativt, men kvadratet til et imaginært tall er negativt. • Sett med reelle tall danner et fullstendig fullstendig ordnet felt, mens settet med imaginære tall verken er komplett eller ordnet. |
