Lineære vs ikke-lineære differensialligninger
En ligning som inneholder minst én differensialkoeffisient eller derivert av en ukjent variabel er kjent som en differensialligning. En differensialligning kan enten være lineær eller ikke-lineær. Omfanget av denne artikkelen er å forklare hva som er lineær differensialligning, hva som er ikke-lineær differensialligning, og hva som er forskjellen mellom lineære og ikke-lineære differensialligninger.
Siden utviklingen av kalkulus på 1700-tallet av matematikere som Newton og Leibnitz, har differensialligning spilt en viktig rolle i historien om matematikk. Differensialligninger er av stor betydning i matematikk på grunn av deres anvendelsesområde. Differensialligninger er kjernen i hver modell vi utvikler for å forklare ethvert scenario eller hendelse i verden, enten det er innen fysikk, ingeniørfag, kjemi, statistikk, finansiell analyse eller biologi (listen er uendelig). Faktisk, inntil kalkulus ble en etablert teori, var riktige matematiske verktøy utilgjengelige for å analysere de interessante problemene i naturen.
De resulterende ligningene fra en spesifikk anvendelse av kalkulus kan være svært komplekse og noen ganger ikke løsbare. Det er imidlertid noen som vi kan løse, men som kan se like og forvirrende ut. Derfor, for lettere identifikasjon, er differensialligninger kategorisert etter deres matematiske oppførsel. Lineær og ikke-lineær er en slik kategorisering. Det er viktig å identifisere forskjellen mellom lineære og ikke-lineære differensialligninger.
Hva er en lineær differensialligning?
Anta at f: X→Y og f(x)=y, en differensialligning uten ikke-lineære ledd av den ukjente funksjonen y og dens deriverte er kjent som en lineær differensialligning.
Det pålegger betingelsen om at y ikke kan ha høyere indekstermer som y2, y3, … og multipler av derivater som f.eks. som
Det kan heller ikke inneholde ikke-lineære termer som Sin y, e y ^-2 eller ln y. Den har formen
hvor y og g er funksjoner av x. Ligningen er en differensialligning av orden n, som er indeksen for den høyeste ordensderiverte.
I en lineær differensialligning er differensialoperatoren en lineær operator og løsningene danner et vektorrom. Som et resultat av løsningssettets lineære natur, er en lineær kombinasjon av løsningene også en løsning på differensialligningen. Det vil si at hvis y1 og y2 er løsninger av differensialligningen, så C1 y 1+ C2 y2 er også en løsning.
Lineariteten til ligningen er bare én parameter i klassifiseringen, og den kan videre kategoriseres i homogene eller ikke-homogene og ordinære eller partielle differensiallikninger. Hvis funksjonen er g=0, er ligningen en lineær homogen differensialligning. Hvis f er en funksjon av to eller flere uavhengige variabler (f: X, T→Y) og f(x, t)=y, så er ligningen en lineær partiell differensialligning.
Løsningsmetode for differensialligningen er avhengig av typen og koeffisientene til differensialligningen. Det enkleste tilfellet oppstår når koeffisientene er konstante. Klassisk eksempel for denne saken er Newtons andre bevegelseslov og dens ulike anvendelser. Newtons andre lov produserer en andreordens lineær differensialligning med konstante koeffisienter.
Hva er en ikke-lineær differensialligning?
Likninger som inneholder ikke-lineære termer er kjent som ikke-lineære differensialligninger.
Alle ovenfor er ikke-lineære differensialligninger. Ikke-lineære differensialligninger er vanskelige å løse, derfor er det nødvendig med nærstudier for å få en riktig løsning. Ved partielle differensialligninger har de fleste ligningene ingen generell løsning. Derfor må hver ligning behandles uavhengig.
Navier-Stokes-ligningen og Eulers ligning i fluiddynamikk, Einsteins feltligninger for generell relativitet er velkjente ikke-lineære partielle differensialligninger. Noen ganger kan bruken av Lagrange-ligningen på et variabelsystem resultere i et system med ikke-lineære partielle differensialligninger.
Hva er forskjellen mellom lineære og ikke-lineære differensialligninger?
• En differensialligning, som bare har de lineære leddene til den ukjente eller avhengige variabelen og dens deriverte, er kjent som en lineær differensialligning. Den har ingen term med den avhengige indeksvariabelen høyere enn 1 og inneholder ikke noe multiplum av dens derivater. Den kan ikke ha ikke-lineære funksjoner som trigonometriske funksjoner, eksponentiell funksjon og logaritmiske funksjoner med hensyn til den avhengige variabelen. Enhver differensialligning som inneholder ovennevnte termer er en ikke-lineær differensialligning.
• Løsninger av lineære differensialligninger skaper vektorrom og differensialoperatoren er også en lineær operator i vektorrom.
• Løsninger av lineære differensialligninger er relativt enklere og det finnes generelle løsninger. For ikke-lineære ligninger eksisterer i de fleste tilfeller ikke den generelle løsningen, og løsningen kan være problemspesifikk. Dette gjør løsningen mye vanskeligere enn de lineære ligningene.
