Mutually Exclusive vs Independent Events
Folk forveksler ofte konseptet med gjensidig utelukkende arrangementer med uavhengige arrangementer. Faktisk er dette to forskjellige ting.
La A og B være alle to hendelser assosiert med et tilfeldig eksperiment E. P(A) kalles "Sannsynligheten for A". På samme måte kan vi definere sannsynlighet for B som P(B), sannsynlighet for A eller B som P(A∪B), og sannsynlighet for A og B som P(A∩B). Deretter P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
To hendelser sies imidlertid å være gjensidig utelukkende hvis forekomsten av en hendelse ikke påvirker den andre. De kan med andre ord ikke forekomme samtidig. Derfor, hvis to hendelser A og B er gjensidig utelukkende, så betyr A∩B=∅ og dermed P(A∪B)=P(A)+ P(B).
La A og B være to hendelser i et utvalgsrom S. Betinget sannsynlighet for A, gitt at B har skjedd, er betegnet med P(A | B) og er definert som; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), gitt P(B)>0. (ellers er det ikke definert.)
En hendelse A sies å være uavhengig av en hendelse B, hvis sannsynligheten for at A inntreffer ikke påvirkes av om B har skjedd eller ikke. Med andre ord har utfallet av hendelsen B ingen effekt på utfallet av hendelsen A. Derfor er P(A | B)=P(A). Tilsvarende er B uavhengig av A hvis P(B)=P(B | A). Derfor kan vi konkludere med at hvis A og B er uavhengige hendelser, så P(A∩B)=P(A). P(B)
Anta at en nummerert kube rulles og en rettferdig mynt snus. La A være hendelsen som oppnår et hode og B være hendelsen som ruller et partall. Da kan vi konkludere med at hendelser A og B er uavhengige, fordi det utfallet av den ene ikke påvirker utfallet av det andre. Derfor er P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. Siden P(A∩B)≠0, kan ikke A og B utelukke hverandre.
Anta at en urne inneholder 7 hvite klinkekuler og 8 svarte kuler. Definer hendelse A som å tegne en hvit klinkekule og hendelse B som å tegne en svart klinkekule. Forutsatt at hver kule vil bli erstattet etter å ha notert fargen, så vil P(A) og P(B) alltid være de samme, uansett hvor mange ganger vi trekker fra urnen. Å erstatte kulene betyr at sannsynlighetene ikke endres fra trekning til trekning, uansett hvilken farge vi valgte på den siste trekningen. Derfor er hendelse A og B uavhengige.
Men hvis klinkekuler ble tegnet uten erstatning, endres alt. Under denne forutsetningen er hendelsene A og B ikke uavhengige. Å tegne en hvit kule første gang endrer sannsynlighetene for å tegne en svart kule på den andre trekningen og så videre. Med andre ord, hver trekning har en effekt på neste trekning, og derfor er de individuelle trekningene ikke uavhengige.
Forskjellen mellom gjensidig eksklusive og uavhengige arrangementer
– Gjensidig eksklusivitet av hendelser betyr at det ikke er noen overlapping mellom settene A og B. Uavhengighet av hendelser betyr at det skjer A ikke påvirker hendelsen av B.
– Hvis to hendelser A og B utelukker hverandre, er P(A∩B)=0.
– Hvis to hendelser A og B er uavhengige, så P(A∩B)=P(A). P(B)
