Differensligning vs differensialligning
Et naturfenomen kan beskrives matematisk ved funksjoner av en rekke uavhengige variabler og parametere. Spesielt når de uttrykkes ved en funksjon av romlig posisjon og tid resulterer det i ligninger. Funksjonen kan endres med endringen i de uavhengige variablene eller parameterne. En uendelig liten endring som skjer i funksjonen når en av dens variabler endres, kalles den deriverte av funksjonen.
En differensialligning er enhver ligning som inneholder deriverte av en funksjon så vel som selve funksjonen. En enkel differensialligning er Newtons andre bevegelseslov. Hvis et objekt med masse m beveger seg med akselerasjon 'a' og blir påvirket med kraft F, forteller Newtons andre lov oss at F=ma. Her igjen varierer 'a' med tiden, vi kan omskrive 'a' som; a=dv/dt; v er hastighet. Hastighet er funksjon av rom og tid, det vil si v=ds/dt; derfor ‘a’=d2s/dt2
Med disse i bakhodet kan vi omskrive Newtons andre lov som en differensialligning;
‘F’ som en funksjon av v og t – F(v, t)=mdv/dt, eller
'F' som funksjon av s og t – F(s, ds/dt, t)=m d2s/dt2
Det finnes to typer differensialligninger; ordinær differensialligning, forkortet med ODE eller partiell differensialligning, forkortet med PDE. Vanlig differensialligning vil ha vanlige deriverte (deriverte av bare én variabel) i seg. Partiell differensialligning vil ha differensialderiverte (deriverte av mer enn én variabel) i seg.
f.eks. F=m d2s/dt2 er en ODE, mens α2 d 2u/dx2=du/dt er en PDE, den har deriverte av t og x.
Differanseligning er den samme som differensialligning, men vi ser på den i en annen kontekst. I differensialligninger vurderes den uavhengige variabelen som tid i sammenheng med kontinuerlige tidssystem. I et diskret tidssystem kaller vi funksjonen som differanseligning.
Differanseligning er en funksjon av forskjeller. Forskjellene i de uavhengige variablene er tre typer; rekkefølge av tall, diskret dynamisk system og iterert funksjon.
I rekkefølgen av tall genereres endringen rekursivt ved å bruke en regel for å relatere hvert tall i sekvensen til tidligere tall i sekvensen.
Differanseligning i et diskret dynamisk system tar noe diskret inngangssignal og produserer utgangssignal.
Differanseligning er et iterert kart for iterert funksjon. F.eks. y0, f(y0), f(f (y0)), f(f(f(y0))), ….er sekvensen av en iterert funksjon. f(y0) er den første iterasjonen av y0 Den k-te iterasjonen vil bli angitt med fk (y0).
