Laplace vs Fourier Transforms
Både Laplace-transformasjon og Fourier-transformasjon er integrerte transformasjoner, som oftest brukes som matematiske metoder for å løse matematisk modellerte fysiske systemer. Prosessen er enkel. En kompleks matematisk modell konverteres til en enklere, løsbar modell ved hjelp av en integrert transformasjon. Når den enklere modellen er løst, brukes den inverse integr altransformasjonen, noe som vil gi løsningen til den opprinnelige modellen.
For eksempel, siden de fleste fysiske systemene resulterer i differensialligninger, kan de konverteres til algebraiske likninger eller i lavere grad lett løselige differensialligninger ved å bruke en integr altransformasjon. Da blir det enklere å løse problemet.
Hva er Laplace-transformasjonen?
Gitt en funksjon f (t) av en reell variabel t, er Laplace-transformasjonen definert av integralet [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (når den eksisterer), som er en funksjon av en kompleks variabel s. Det er vanligvis betegnet med L { f (t)}. Den inverse Laplace-transformasjonen til en funksjon F(s) blir tatt for å være funksjonen f (t) på en slik måte at L { f (t)}=F (s), og i den vanlige matematiske notasjonen skriver vi, L-1{ F (s)}=f (t). Den inverse transformasjonen kan gjøres unik hvis nullfunksjoner ikke er tillatt. Man kan identifisere disse to som lineære operatorer definert i funksjonsrommet, og det er også lett å se at L -1{ L { f (t)}}=f (t), hvis null-funksjoner ikke er tillatt.
Den følgende tabellen viser Laplace-transformasjonene til noen av de vanligste funksjonene.
Hva er Fourier-transformasjonen?
Gitt en funksjon f (t) av en reell variabel t, er Laplace-transformasjonen definert av integralet [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (når den finnes), og er vanligvis betegnet med F { f (t)}. Den inverse transformasjonen F -1{ F (α)} er gitt av integralet [latex] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. Fouriertransformasjon er også lineær, og kan tenkes på som en operator definert i funksjonsrommet.
Ved bruk av Fourier-transformasjonen kan den opprinnelige funksjonen skrives som følger forutsatt at funksjonen bare har et begrenset antall diskontinuiteter og er absolutt integrerbar.
Hva er forskjellen mellom Laplace- og Fourier-transformasjonene?
- Fourier-transformasjon av en funksjon f (t) er definert som [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], mens laplace-transformasjonen av den er definert til å være [latex] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- Fourier-transformasjon er definert bare for funksjoner definert for alle de reelle tallene, mens Laplace-transformasjon ikke krever at funksjonen defineres på sett de negative reelle tallene.
- Fourier-transformasjonen er et spesi altilfelle av Laplace-transformasjonen. Det kan sees at begge faller sammen for ikke-negative reelle tall. (dvs. ta s i Laplace for å være iα + β der α og β er reelle slik at e β=1/ √(2ᴫ))
- Hver funksjon som har en Fourier-transformasjon vil ha en Laplace-transform, men ikke omvendt.
