Fourier Series vs Fourier Transform
Fourier-serien dekomponerer en periodisk funksjon til en sum av sinus og cosinus med forskjellige frekvenser og amplituder. Fourier-serien er en gren av Fourier-analyse og den ble introdusert av Joseph Fourier. Fourier Transform er en matematisk operasjon som bryter et signal inn i dets konstituerende frekvenser. Det opprinnelige signalet som endret seg over tid kalles tidsdomenerepresentasjonen av signalet. Fourier-transformasjonen kalles frekvensdomenerepresentasjonen av et signal siden den avhenger av frekvensen. Både frekvensdomenerepresentasjonen av et signal og prosessen som brukes til å transformere det signalet til frekvensdomenet, blir referert til som Fourier-transformasjonen.
Hva er Fourier-serien?
Som nevnt tidligere, er Fourier-rekker en utvidelse av en periodisk funksjon som bruker uendelig sum av sinus og cosinus. Fourier-serier ble opprinnelig utviklet når man løste varmeligninger, men senere ble det funnet ut at den samme teknikken kan brukes til å løse et stort sett med matematiske problemer, spesielt problemene som involverer lineære differensialligninger med konstante koeffisienter. Nå har Fourier-serien applikasjoner innen et stort antall felt, inkludert elektroteknikk, vibrasjonsanalyse, akustikk, optikk, signalbehandling, bildebehandling, kvantemekanikk og økonometri. Fourier-serier bruker ortogonalitetsrelasjonene til sinus- og cosinusfunksjoner. Beregningen og studiet av Fourier-serier er kjent som den harmoniske analysen og er svært nyttig når man arbeider med vilkårlige periodiske funksjoner, siden den gjør det mulig å bryte funksjonen i enkle termer som kan brukes til å få en løsning på det opprinnelige problemet.
Hva er Fourier-transformasjon?
Fourier-transformasjon definerer et forhold mellom et signal i tidsdomenet og dets representasjon i frekvensdomenet. Fourier-transformasjonen dekomponerer en funksjon til oscillerende funksjoner. Siden dette er en transformasjon, kan det opprinnelige signalet oppnås ved å kjenne til transformasjonen, og dermed blir ingen informasjon opprettet eller tapt i prosessen. Studie av Fourier-serier gir faktisk motivasjon for Fourier-transformasjonen. På grunn av egenskapene til sinus og cosinus er det mulig å gjenvinne mengden av hver bølge bidrar til summen ved å bruke en integral. Fouriertransformasjon har noen grunnleggende egenskaper som linearitet, oversettelse, modulasjon, skalering, konjugering, dualitet og konvolusjon. Fourier-transformasjon brukes til å løse differensialligninger siden Fourier-transformasjonen er nært knyttet til Laplace-transformasjonen. Fourier-transformasjon brukes også i kjernemagnetisk resonans (NMR) og i andre typer spektroskopi.
Forskjellen mellom Fourier Series og Fourier Transform
Fourier-serien er en utvidelse av periodisk signal som en lineær kombinasjon av sinus og cosinus, mens Fourier-transformasjon er prosessen eller funksjonen som brukes til å konvertere signaler fra tidsdomene til frekvensdomene. Fourier-serier er definert for periodiske signaler, og Fourier-transformasjonen kan brukes på aperiodiske (som forekommer uten periodisitet) signaler. Som nevnt ovenfor gir studiet av Fourier-serier faktisk motivasjon for Fourier-transformasjonen.
