Bestemte vs ubestemte integraler
Calculus er en viktig gren av matematikk, og differensiering spiller en avgjørende rolle i kalkulus. Den inverse prosessen med differensieringen er kjent som integrasjon, og den inverse er kjent som integralet, eller enkelt sagt, den inverse av differensieringen gir en integral. Basert på resultatene de produserer er integralene delt inn i to klasser; bestemte og ubestemte integraler.
Mer om ubestemte integraler
Ubestemt integral er mer en generell form for integrasjon, og det kan tolkes som anti-deriverten av den betraktede funksjonen. Anta at differensiering av F gir f, og integrasjonen av f gir integralet. Det skrives ofte som F(x)=∫ƒ(x)dx eller F=∫ƒ dx der både F og ƒ er funksjoner av x, og F er differensierbar. I skjemaet ovenfor kalles det et Reimann-integral, og den resulterende funksjonen følger med en vilkårlig konstant. En ubestemt integral produserer ofte en familie av funksjoner; derfor er integralet ubestemt.
Integraler og integrasjonsprosess er kjernen i å løse differensialligninger. Men i motsetning til differensieringen følger ikke integrasjon alltid en klar og standard rutine; noen ganger kan ikke løsningen uttrykkes eksplisitt i form av elementær funksjon. I så fall gis den analytiske løsningen ofte i form av et ubestemt integral.
Mer om bestemte integraler
Bestemte integraler er de høyt verdsatte motstykkene til ubestemte integraler der integrasjonsprosessen faktisk produserer et endelig tall. Det kan defineres grafisk som området avgrenset av kurven til funksjonen ƒ innenfor et gitt intervall. Hver gang integrasjonen utføres innenfor et gitt intervall av den uavhengige variabelen, produserer integrasjonen en bestemt verdi som ofte skrives som a∫bƒ(x) dx eller a∫b ƒdx.
De ubestemte integralene og de bestemte integralene er sammenkoblet gjennom den første grunnsetningen til kalkulus, og som gjør at det bestemte integralet kan beregnes ved å bruke de ubestemte integralene. Teoremet sier a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a) hvor både F og ƒ er funksjoner av x, og F er differensierbar i intervallet (a, b). Med tanke på intervallet er a og b kjent som henholdsvis den nedre grensen og den øvre grensen.
I stedet for å stoppe med bare reelle funksjoner, kan integrasjonen utvides til komplekse funksjoner, og disse integralene kalles konturintegraler, der ƒ er en funksjon av den komplekse variabelen.
Hva er forskjellen mellom bestemte og ubestemte integraler?
Ubestemte integraler representerer anti-deriverten av en funksjon, og ofte en familie av funksjoner i stedet for en bestemt løsning. I bestemte integraler gir integrasjonen et endelig tall.
Ubestemte integraler assosierer en vilkårlig variabel (derav funksjonsfamilien) og bestemte integraler har ikke en vilkårlig konstant, men en øvre grense og en nedre grense for integrasjon.
Ubestemt integral gir vanligvis en generell løsning på differensialligningen.
