Power Series vs Taylor Series
I matematikk er en reell sekvens en ordnet liste over reelle tall. Formelt sett er det en funksjon fra settet av naturlige tall inn til settet med reelle tall. Hvis an er nth ledd i en sekvens, betegner vi sekvensen med eller med 1, a 2, …, an, …. Tenk for eksempel på sekvensen 1, ½, ⅓, …, 1 / n, …. Den kan betegnes som {1/n}.
Det er mulig å definere en serie ved hjelp av sekvenser. En serie er summen av leddene i en sekvens. Derfor, for hver sekvens, er det en tilknyttet sekvens og omvendt. Hvis {an} er sekvensen som vurderes, kan serien som dannes av den sekvensen representeres som:
Derfor, i eksemplet ovenfor, er den tilknyttede serien 1+1/2+1 /3+ … + 1/ n + ….
Som navnene antyder, er potensserien en spesiell type serie og den er mye brukt i numerisk analyse og relatert matematisk modellering. Taylor-serien er en spesiell kraftserie som gir en alternativ og enkel å manipulere måte å representere kjente funksjoner på.
Hva er Power-serien?
En kraftserie er en serie av formen
som er konvergent (muligens) for et eller annet intervall sentrert ved c. Koeffisientene ankan være reelle eller komplekse tall, og er uavhengig av x; dvs. dummy-variabelen.
For eksempel ved å sette an=1 for hver n, og c=0, potensserien 1+x+x2 +…..+ x+… oppnås. Det er lett å se at når x ε (-1, 1), konvergerer denne potensserien til 1/(1-x).
En potensserie konvergerer når x=c. De andre verdiene av x som potensserien konvergerer for vil alltid ha form av et åpent intervall sentrert ved c. Det vil si at det vil være en verdi 0≤ R ≤ ∞ slik at for hver x som tilfredsstiller |x-c|≤ R, er potensserien konvergent og for hver x som tilfredsstiller |x-c|> R, er potensserien divergent. Denne verdien R kalles konvergensradius for potensserien (R kan ta hvilken som helst reell verdi eller positiv uendelighet).
Power-serier kan legges til, subtraheres, multipliseres og divideres ved å bruke følgende regler. Tenk på de to potensseriene:
Så,
dvs. lignende termer legges til eller trekkes fra sammen. Det er også mulig å multiplisere og dele de to potensseriene ved å bruke identiteten
Hva er Taylor-serien?
Taylor-serien er definert for en funksjon f (x) som er uendelig differensierbar på et intervall. Anta at f (x) er differensierbar på et intervall sentrert ved c. Deretter potensserien som er gitt av
kalles Taylor-serieutvidelsen av funksjonen f (x) om c. (Her angir f(n) (c) den nth deriverten ved x=c). I numerisk analyse brukes et begrenset antall ledd i denne uendelige utvidelsen til å beregne verdier på punkter der serien er konvergent til den opprinnelige funksjonen.
En funksjon f (x) sies å være analytisk i intervallet (a, b), hvis Taylor-serien til f (x) for hver x ε (a, b) konvergerer til funksjonen f (x). For eksempel er 1/(1-x) analytisk på (-1, 1), siden Taylor-utvidelsen 1+x+x2+….+ x +… konvergerer til funksjonen på det intervallet, og ex er analytisk over alt, siden Taylor-serien til ex konvergerer til e x for hvert reelt tall x.
Hva er forskjellen mellom Power-serier og Taylor-serier?
1. Taylor-serien er en spesiell klasse av potensserier som kun er definert for funksjoner som er uendelig differensierbare på et åpent intervall.
2. Taylor-serien har den spesielle formen
mens en potensserie kan være en hvilken som helst serie av formen
