Associative vs Commutative
I vårt daglige liv må vi bruke tall når vi trenger å måle noe. I dagligvarebutikken, på bensinstasjonen og til og med på kjøkkenet må vi legge til, trekke fra og gange to eller flere mengder. Fra vår praksis utfører vi disse beregningene ganske enkelt. Vi legger aldri merke til eller stiller spørsmål ved hvorfor vi gjør disse operasjonene på denne spesielle måten. Eller hvorfor disse beregningene ikke kan gjøres på en annen måte. Svaret er skjult i måten disse operasjonene er definert i det matematiske feltet til algebra.
I algebra er en operasjon som involverer to størrelser (som addisjon) definert som en binær operasjon. Mer presist er det en operasjon mellom to elementer fra et sett, og disse elementene kalles "operanden". Mange operasjoner i matematikk, inkludert aritmetiske operasjoner nevnt tidligere og de som er funnet i settteori, lineær algebra og matematisk logikk kan defineres som binære operasjoner.
Det er et sett med styrende regler knyttet til en spesifikk binær operasjon. Assosiative og kommutative egenskaper er to grunnleggende egenskaper for de binære operasjonene.
Mer om kommutativ eiendom
Anta at en binær operasjon, betegnet med symbolet ⊗, utføres på elementene A og B. Hvis rekkefølgen på operandene ikke påvirker resultatet av operasjonen, sies operasjonen å være kommutativ. dvs. hvis A ⊗ B=B ⊗ A, er operasjonen kommutativ.
De aritmetiske operasjonene addisjon og multiplikasjon er kommutative. Rekkefølgen på tallene lagt sammen eller multiplisert sammen påvirker ikke det endelige svaret:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Men ved divisjon gir endring i rekkefølgen det resiproke av den andre, og i subtraksjon gir endringen det negative av den andre. Derfor
A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 og 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0,8 og 5 ÷ 4=1,25 [i dette tilfellet A, B ≠ 1 og 0]
Faktisk sies subtraksjonen å være anti-kommutativ; hvor A – B=– (B – A).
De logiske forbindelsene, konjunksjonen, disjunksjonen, implikasjonen og ekvivalensen, er også kommutative. Sannhetsfunksjoner er også kommutative. Den angitte operasjonsforeningen og skjæringspunktet er kommutative. Addisjon og skalarproduktet til vektorene er også kommutative.
Men vektorsubtraksjonen og vektorproduktet er ikke kommutativt (vektorproduktet av to vektorer er antikommutativt). Matriseaddisjonen er kommutativ, men multiplikasjonen og subtraksjonen er ikke kommutativ.(Multiplikasjon av to matriser kan være kommutativ i spesielle tilfeller, for eksempel multiplikasjon av en matrise med dens inverse eller identitetsmatrisen; men definitivt matriser er ikke kommutative hvis matrisene ikke er av samme størrelse)
Mer om assosiativ eiendom
En binær operasjon sies å være assosiativ hvis rekkefølgen på utførelsen ikke påvirker resultatet når to eller flere forekomster av operatøren er tilstede. Tenk på elementene A, B og C og den binære operasjonen ⊗. Operasjonen ⊗ sies å være assosiativ hvis
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Fra de grunnleggende aritmetiske funksjonene er bare addisjon og multiplikasjon assosiative.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
Subtraksjonen og divisjonen er ikke assosiative;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 og (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2,4 og (5 ÷ 4) ÷ 3=0,2666
De logiske forbindelsene disjunksjon, konjunksjon og ekvivalens er assosiative, i likhet med settoperasjonsunionen og skjæringspunktet. Matrisen og vektoraddisjonen er assosiative. Skalarproduktet av vektorer er assosiativt, men vektorproduktet er det ikke. Matrisemultiplikasjon er assosiativ bare under spesielle omstendigheter.
Hva er forskjellen mellom kommutativ og assosiativ eiendom?
• Både assosiativ egenskap og den kommutative egenskapen er spesielle egenskaper for de binære operasjonene, og noen tilfredsstiller dem og noen ikke.
• Disse egenskapene kan sees i mange former for algebraiske operasjoner og andre binære operasjoner i matematikk, slik som skjæringspunktet og foreningen i settteori eller de logiske forbindelsene.
• Forskjellen mellom kommutativ og assosiativ er at kommutativ egenskap sier at rekkefølgen av elementene ikke endrer det endelige resultatet mens assosiativ egenskap sier at rekkefølgen operasjonen utføres i, ikke påvirker det endelige svaret.
