Forskjellen mellom Riemann-integral og Lebesgue-integral

2024 Forfatter: Alex Aldridge | [email protected]. Sist endret: 2023-12-17 13:46

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Integrasjon er et hovedtema i kalkulus. I en bredere forstand kan integrering sees på som den omvendte differensieringsprosessen. Når du modellerer problemer i den virkelige verden, er det lett å skrive uttrykk som involverer derivater. I en slik situasjon kreves integrasjonsoperasjonen for å finne funksjonen som ga den bestemte deriverte.

Fra en annen vinkel er integrasjon en prosess som oppsummerer produktet av en funksjon ƒ(x) og δx, der δx har en tendens til å være en viss grense. Dette er grunnen til at vi bruker integrasjonssymbolet som ∫. Symbolet ∫ er faktisk det vi får ved å strekke bokstaven s for å referere til sum.

Riemann Integral

Vurder en funksjon y=ƒ(x). Integralet av y mellom a og b, der a og b tilhører en mengde x, skrives som _b ∫ ^a ƒ(x) dx=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). Dette kalles et bestemt integral av den enkeltverdiede og kontinuerlige funksjonen y=ƒ(x) mellom a og b. Dette gir arealet under kurven mellom a og b. Dette kalles også Riemann-integral. Riemann integral ble skapt av Bernhard Riemann. Riemann-integralet av en kontinuerlig funksjon er basert på Jordan-målet, derfor er det også definert som grensen for Riemann-summene til funksjonen. For en funksjon med reell verdi definert på et lukket intervall, Riemann-integralet til funksjonen med hensyn til en partisjon x₁, x₂, …, x n _{definert på intervallet [a, b] og t}1_{, t}2_{, …, t n}, der x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 for hver i ε {1, 2, …, n}, Riemann sum er definert som Σ_{i=o til n-1} ƒ(t_i)(x_i+1 – x_i).

Lebesgue Integral

Lebesgue er en annen type integral, som dekker en lang rekke tilfeller enn Riemann-integral gjør. Lebesgue-integralen ble introdusert av Henri Lebesgue i 1902. Legesgue-integrasjonen kan betraktes som en generalisering av Riemann-integrasjonen.

Hvorfor må vi studere en annen integral?

La oss vurdere den karakteristiske funksjonen ƒ_{A (x)=}{_{0 if, x not ε A}^{1 if, x ε A}på et sett A. Deretter finitt lineær kombinasjon av karakteristiske funksjoner, som er definert som F (x)=Σ a_{i ƒ E} i_{(x) kalles den enkle funksjonen hvis E} i _{er målbar for hver i. Lebesgue-integralet av F (x) over E er merket med} E_{∫ ƒ(x)dx. Funksjonen F (x) er ikke Riemann-integrerbar. Derfor er Lebesgue-integral omformulert Riemann-integral, som har noen begrensninger på funksjonene som skal integreres.}

Hva er forskjellen mellom Riemann Integral og Lebesgue Integral?

· Lebesgue-integralet er en generaliseringsform av Riemann-integralet.

· Lebesgue-integralet tillater en tellbar uendelighet av diskontinuiteter, mens Riemann-integralet tillater et begrenset antall diskontinuiteter.