Tilfeldige variabler kontra sannsynlighetsfordeling
Statistiske eksperimenter er tilfeldige eksperimenter som kan gjentas i det uendelige med et kjent sett med utfall. Både tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger er knyttet til slike eksperimenter. For hver tilfeldig variabel er det en assosiert sannsynlighetsfordeling definert av en funksjon k alt kumulativ distribusjonsfunksjon.
Hva er en tilfeldig variabel?
En tilfeldig variabel er en funksjon som tildeler numeriske verdier til resultatene av et statistisk eksperiment. Med andre ord er det en funksjon definert fra prøverommet til et statistisk eksperiment inn i settet med reelle tall.
Vurder for eksempel et tilfeldig eksperiment med å snu en mynt to ganger. De mulige utfallene er HH, HT, TH og TT (H – hoder, T – fortellinger). La variabelen X være antall hoder observert i eksperimentet. Da kan X ta verdiene 0, 1 eller 2, og det er en tilfeldig variabel. Her vil den tilfeldige variabelen X kartlegge settet S={HH, HT, TH, TT} (utvalgsrommet) til settet {0, 1, 2} på en slik måte at HH blir kartlagt til 2, HT og TH er avbildet til 1 og TT er avbildet til 0. I funksjonsnotasjon kan dette skrives som, X: S → R hvor X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 og X(TT)=0.
Det finnes to typer tilfeldige variabler: diskrete og kontinuerlige, følgelig er antallet mulige verdier en tilfeldig variabel kan anta på det meste tellbare eller ikke. I forrige eksempel er den tilfeldige variabelen X en diskret tilfeldig variabel siden {0, 1, 2} er et endelig sett. Tenk nå på det statistiske eksperimentet med å finne vektene til elevene i en klasse. La Y være den tilfeldige variabelen definert som vekten til en elev. Y kan ta hvilken som helst reell verdi innenfor et spesifikt intervall. Derfor er Y en kontinuerlig tilfeldig variabel.
Hva er en sannsynlighetsfordeling?
Sannsynlighetsfordeling er en funksjon som beskriver sannsynligheten for at en tilfeldig variabel tar bestemte verdier.
En funksjon k alt kumulativ distribusjonsfunksjon (F) kan defineres fra settet med reelle tall til settet med reelle tall som F(x)=P(X ≤ x) (sannsynligheten for at X er mindre enn eller lik x) for hvert mulig utfall x. Nå kan den kumulative fordelingsfunksjonen til X i det første eksemplet skrives som F(a)=0, hvis a<0; F(a)=0,25, hvis 0≤a<1; F(a)=0,75, hvis 1≤a<2 og F(a)=1, hvis a≥2.
I tilfelle av diskrete tilfeldige variabler, kan en funksjon defineres fra settet med mulige utfall til settet med reelle tall på en slik måte at ƒ(x)=P(X=x) (sannsynligheten for X er lik x) for hvert mulig utfall x. Denne spesielle funksjonen ƒ kalles sannsynlighetsmassefunksjonen til den tilfeldige variabelen X. Nå kan sannsynlighetsmassefunksjonen til X i det første eksemplet skrives som ƒ(0)=0,25, ƒ(1)=0,5, ƒ(2)=0,25, og ƒ(x)=0 ellers. Dermed vil sannsynlighetsmassefunksjon sammen med den kumulative fordelingsfunksjonen beskrive sannsynlighetsfordelingen til X i det første eksemplet.
I tilfellet med kontinuerlige tilfeldige variabler, kan en funksjon k alt sannsynlighetstetthetsfunksjonen (ƒ) defineres som ƒ(x)=dF(x)/dx for hver x hvor F er den kumulative fordelingsfunksjonen til kontinuerlig tilfeldig variabel. Det er lett å se at denne funksjonen tilfredsstiller ∫ƒ(x)dx=1. Sannsynlighetstetthetsfunksjonen sammen med den kumulative fordelingsfunksjonen beskriver sannsynlighetsfordelingen til en kontinuerlig tilfeldig variabel. For eksempel er normalfordelingen (som er en kontinuerlig sannsynlighetsfordeling) beskrevet ved hjelp av sannsynlighetstetthetsfunksjonen ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x-) µ)]2/(2σ2)).
Hva er forskjellen mellom tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordeling?
• Tilfeldig variabel er en funksjon som assosierer verdier av et utvalgsrom til et reelt tall.
• Sannsynlighetsfordeling er en funksjon som assosierer verdier som en tilfeldig variabel kan ta til den respektive sannsynligheten for forekomst.
