Differensiation vs Derivative
I differensialregning er derivert og differensiering nært beslektet, men svært forskjellige, og brukes til å representere to viktige matematiske begreper knyttet til funksjoner.
Hva er derivat?
Deriverte av en funksjon måler hastigheten som funksjonsverdien endres med når inndata endres. I multivariable funksjoner avhenger endringen i funksjonsverdien av retningen for endringen av verdiene til de uavhengige variablene. Derfor, i slike tilfeller, velges en bestemt retning og funksjonen differensieres i den bestemte retningen. Den deriverten kalles retningsderiverten. Partielle derivater er en spesiell type retningsderivater.
Deriverte av en vektorverdifunksjon f kan defineres som grensen [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] uansett hvor det finnes endelig. Som nevnt før gir dette oss økningshastigheten til funksjonen f langs retningen til vektoren u. Når det gjelder en funksjon med én verdi, reduseres dette til den velkjente definisjonen av den deriverte, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
For eksempel er [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] differensierbar over alt, og den deriverte er lik grensen, [latex]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], som er lik [latex]3x^{2}+4[/latex]. Derivatene av funksjoner som [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] finnes over alt. De er henholdsvis lik funksjonene [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Dette er kjent som den første deriverte. Vanligvis er den første deriverte av funksjon f betegnet med f (1) Ved å bruke denne notasjonen, er det mulig å definere høyere ordensderiverte. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] er andreordens retningsderiverte, og angir n th deriverte med f (n) for hver n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], definerer n th-deriverten.
Hva er differensiering?
Differensiering er prosessen med å finne den deriverte av en differensierbar funksjon. D-operator betegnet med D representerer differensiering i noen sammenhenger. Hvis x er den uavhengige variabelen, så er D ≡ d/dx. D-operatoren er en lineær operator, dvs. for to differensierbare funksjoner f og g og konstant c, gjelder følgende egenskaper.
I. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
Ved bruk av D-operatoren kan de andre reglene knyttet til differensiering uttrykkes som følger. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2 og D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
For eksempel, når F(x)=x 2sin x er differensiert med hensyn til x ved å bruke reglene gitt, vil svaret være 2 x sin x + x2cos x.
Hva er forskjellen mellom differensiering og derivat?• Derivat refererer til en endringshastighet for en funksjon • Differensiering er prosessen med å finne den deriverte av en funksjon. |
