Forskjellen mellom aritmetiske og geometriske serier

2024 Forfatter: Alex Aldridge | [email protected]. Sist endret: 2023-12-17 13:46

Arithmetic vs Geometric Series

Den matematiske definisjonen av en serie er nært knyttet til sekvensene. En sekvens er et ordnet sett med tall og kan enten være et endelig eller uendelig sett. En tallsekvens der forskjellen mellom to elementer er en konstant er kjent som en aritmetisk progresjon. En sekvens med en konstant kvotient av to påfølgende tall er kjent som en geometrisk progresjon. Disse progresjonene kan enten være endelige eller uendelige, og hvis begrenset, er antall ledd tellbare, ellers utellelige.

Generelt kan summen av elementene i en progresjon defineres som en serie. Summen av en aritmetisk progresjon er kjent som en aritmetisk serie. På samme måte er summen av en geometrisk progresjon kjent som en geometrisk serie.

Mer om Arithmetic Series

I en aritmetisk serie har de påfølgende leddene en konstant forskjell.

S_n =a₁ + a₂ + a_{3+ a}4 _{+⋯+ a}n _=∑i=1_ai_{; hvor a}2 _=a1 _{+ d, a}3 _=a2 _{+ d, og så videre.}

Denne forskjellen d er kjent som den vanlige forskjellen, og termen n^th er gitt av a_n =a ₁+ (n-1)d; der a_{1 er det første leddet.}

Atferden til serien endres basert på den vanlige forskjellen d. Hvis den felles forskjellen er positiv, har progresjonen en tendens til å være positiv uendelig, og hvis den felles forskjellen er negativ, tenderer den mot den negative uendeligheten.

Summen av serien kan oppnås ved hjelp av følgende enkle formel, som først ble utviklet av den indiske astronomen og matematikeren Aryabhata.

S_n =n/2 (a₁+ a_n)=n/2 [2a_{1 + (n-1)d]}

Summen S_{n kan enten være endelig eller uendelig, basert på antall ledd.}

Mer om Geometric Series

En geometrisk serie er en serie med kvotienten til de påfølgende tallkonstanten. Det er en viktig serie funnet i studiet av serien, på grunn av egenskapene den besitter.

S_n =ar + ar² + ar³ +⋯+ ar ⁿ =∑_i=1 arⁱ

Basert på forholdet r, kan oppførselen til serien kategoriseres som følger. r={|r|≥1 serie divergerer; r≤1 serie konvergerer}. Dessuten, hvis r<0 serien svinger, dvs. at serien har vekslende verdier.

Summen av den geometriske rekken kan beregnes ved hjelp av følgende formel. S_n =a(1-r) / (1-r); der a er startleddet og r er forholdet. Hvis forholdet r≤1, konvergerer serien. For en uendelig serie er verdien av konvergens gitt av S_{n=a / (1-r).}

Geometric-serien har mange bruksområder innen fysiske vitenskaper, ingeniørfag og økonomi

Hva er forskjellen mellom aritmetiske og geometriske serier?

• En aritmetisk serie er en serie med en konstant forskjell mellom to tilstøtende ledd.

• En geometrisk serie er en serie med en konstant kvotient mellom to påfølgende ledd.

• Alle uendelige aritmetiske serier er alltid divergerende, men avhengig av forholdet kan den geometriske rekken enten være konvergent eller divergent.

• Den geometriske rekken kan ha oscillasjon i verdiene; det vil si at tallene skifter fortegn alternativt, men regnerekken kan ikke ha svingninger.