Sannsynlighetsfordelingsfunksjon vs sannsynlighetstetthetsfunksjon
Sannsynlighet er sannsynligheten for at en hendelse skal skje. Denne ideen er veldig vanlig, og brukes ofte i det daglige livet når vi vurderer mulighetene våre, transaksjonen og mange andre ting. Å utvide dette enkle konseptet til et større sett med arrangementer er litt mer utfordrende. For eksempel kan vi ikke enkelt finne ut sjansene for å vinne et lotteri, men det er praktisk, ganske intuitivt, å si at det er en sannsynlighet for at én av seks får nummer seks i en terningkast.
Når antallet hendelser som kan finne sted blir større, eller antallet individuelle muligheter er stort, svikter denne ganske enkle ideen om sannsynlighet. Derfor må det gis en solid matematisk definisjon før man nærmer seg problemer med høyere kompleksitet.
Når antallet hendelser som kan finne sted i en enkelt situasjon er stort, er det umulig å vurdere hver hendelse individuelt som i eksemplet med terningene som kastes. Derfor er hele settet med hendelser oppsummert ved å introdusere konseptet med den tilfeldige variabelen. Det er en variabel som kan anta verdiene til forskjellige hendelser i den spesielle situasjonen (eller prøverommet). Det gir en matematisk mening til enkle hendelser i situasjonen, og matematisk måte å adressere hendelsen på. Mer presist er en tilfeldig variabel en reell verdifunksjon over elementene i prøverommet. De tilfeldige variablene kan enten være diskrete eller kontinuerlige. De er vanligvis merket med store bokstaver i det engelske alfabetet.
Sannsynlighetsfordelingsfunksjon (eller ganske enkelt sannsynlighetsfordelingen) er en funksjon som tilordner sannsynlighetsverdiene for hver hendelse; dvs. den gir en relasjon til sannsynlighetene for verdiene som den tilfeldige variabelen kan ta. Sannsynlighetsfordelingsfunksjonen er definert for diskrete tilfeldige variabler.
Sannsynlighetstetthetsfunksjonen er ekvivalent med sannsynlighetsfordelingsfunksjonen for de kontinuerlige tilfeldige variablene, gir sannsynligheten for at en viss tilfeldig variabel antar en viss verdi.
Hvis X er en diskret tilfeldig variabel, kalles funksjonen gitt som f (x)=P (X=x) for hver x innenfor området til X sannsynlighetsfordelingsfunksjonen. En funksjon kan tjene som sannsynlighetsfordelingsfunksjon hvis og bare hvis funksjonen tilfredsstiller følgende betingelser.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
En funksjon f (x) som er definert over settet med reelle tall kalles sannsynlighetstetthetsfunksjonen til den kontinuerlige tilfeldige variabelen X, hvis og bare hvis, P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx for alle reelle konstanter a og b.
Sannsynlighetstetthetsfunksjonen bør også tilfredsstille følgende betingelser.
1. f (x) ≥ 0 for alle x: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
Både sannsynlighetsfordelingsfunksjonen og sannsynlighetstetthetsfunksjonen brukes til å representere fordelingen av sannsynligheter over prøverommet. Vanligvis kalles disse sannsynlighetsfordelinger.
For statistisk modellering utledes standard sannsynlighetstetthetsfunksjoner og sannsynlighetsfordelingsfunksjoner. Normalfordelingen og standardnormalfordelingen er eksempler på de kontinuerlige sannsynlighetsfordelingene. Binomialfordeling og Poisson-fordeling er eksempler på diskrete sannsynlighetsfordelinger.
Hva er forskjellen mellom sannsynlighetsfordeling og sannsynlighetstetthetsfunksjon?
• Sannsynlighetsfordelingsfunksjon og sannsynlighetstetthetsfunksjon er funksjoner definert over prøverommet, for å tilordne den relevante sannsynlighetsverdien til hvert element.
• Sannsynlighetsfordelingsfunksjoner er definert for de diskrete tilfeldige variablene, mens sannsynlighetstetthetsfunksjoner er definert for de kontinuerlige tilfeldige variablene.
• Distribusjon av sannsynlighetsverdier (dvs. sannsynlighetsfordelinger) fremstilles best av sannsynlighetstetthetsfunksjonen og sannsynlighetsfordelingsfunksjonen.
• Sannsynlighetsfordelingsfunksjonen kan representeres som verdier i en tabell, men det er ikke mulig for sannsynlighetstetthetsfunksjonen fordi variabelen er kontinuerlig.
• Når den er plottet, gir sannsynlighetsfordelingsfunksjonen et søyleplott mens sannsynlighetstetthetsfunksjonen gir en kurve.
• Høyden/lengden på stolpene til sannsynlighetsfordelingsfunksjonen må legges til 1 mens arealet under kurven til sannsynlighetstetthetsfunksjonen må legges til 1.
• I begge tilfeller må alle verdiene til funksjonen være ikke-negative.
