Cardinal vs Ordinal
I vårt daglige liv kan bruken av tall ta ulike former i ulike situasjoner. For eksempel, når vi teller for å finne ut størrelsen på en samling objekter, teller vi dem som én, to, tre og så videre. Når vi ønsker å telle noe for å få følelsen av posisjonen til objektene, teller vi dem som første, andre, tredje, og så videre. I den første formen for telling sies tall å være kardin altall. I den andre telleformen betraktes tallene som ordenstall. I denne sammenhengen er begrepene kardinal og ordinal helt et spørsmål om lingvistikk; kardinal og ordinal er adjektiver.
Utvidelsen av begrepet til mengder i matematikk avslører imidlertid et mye dypere og bredere perspektiv og kan ikke behandles med enkle ord. I denne artikkelen skal vi prøve å forstå de grunnleggende begrepene for kardinal- og ordenstall i matematikk.
Formelle definisjoner av kardinal- og ordenstall er gitt i mengdteorien. Definisjonene er intrikate og for å forstå dem i perfekt forstand trenger bakgrunnskunnskap i settteori. Derfor vil vi gå over til et par eksempler, for å forstå begrepene heuristisk.
Vurder de to settene {1, 3, 6, 4, 5, 2} og {buss, car, ferry, train, airplane, helikopter}. Hvert sett viser et sett med elementer, og hvis vi teller antall elementer er det tydelig at hvert sett har samme antall elementer, som er 6. For å komme til denne konklusjonen har vi tatt størrelsen på ett sett og sammenlignet med et annet ved å bruke en Antall. Et slikt tall kalles et kardinalnummer. Derfor kan vi si at et kardin altall er et tall vi kan bruke for å sammenligne størrelsen på de endelige mengdene.
Igjen kan det første settet med tall ordnes i stigende rekkefølge med tanke på størrelsen på hvert element og sammenligne dem. Under bestillingsprosessen betraktes tallene som kardinaler. På samme måte kan settet med alle ikke-negative heltall ordnes i et sett; dvs. {0, 1, 2, 3, 4, ….}. Men i dette tilfellet blir størrelsen på settet uendelig, og å gi det i form av ordinaler er ikke mulig. Uansett hvor stort tall du velger for å gi størrelsen på settet, vil det fortsatt være tall utelatt fra settet du velger og som er ikke-negative heltall.
Derfor definerer matematikere denne uendelige kardinalen (som er den første) som Aleph-0, skrevet som א (første bokstav i det hebraiske alfabetet). Formelt sett er ordensnummeret ordretypen til et velordnet sett. Derfor kan ordenstallet til de endelige mengdene gis av kardin altall, men for uendelige sett er ordenstallet gitt av transfinitte tall som Aleph-0.
Hva er forskjellen mellom kardinal- og ordenstall?
• Kardin altallet er et tall som kan brukes til å telle, eller for å gi størrelsen på et endelig ordnet sett. Alle kardin altall er ordinaler.
• Ordin altallene er tall som brukes til å gi størrelsen på både endelige og uendelig ordnede sett. Størrelsen på de endelig ordnede settene er gitt av vanlige hindu-arabiske algebraiske tall, og den uendelige mengden er gitt av transfinite tall.
