Relasjon kontra funksjon
Fra videregående matematikk og utover blir funksjon et vanlig begrep. Selv om det brukes ganske ofte, brukes det uten riktig forståelse av definisjonen og tolkningene. Denne artikkelen fokuserer på å beskrive disse aspektene ved en funksjon.
Relation
En relasjon er en kobling mellom elementene i to sett. I en mer formell setting kan det beskrives som en delmengde av det kartesiske produktet av to sett X og Y. Kartesisk produkt av X og Y, betegnet som X×Y, er et sett med ordnede par som består av elementer fra de to settene, ofte betegnet som (x, y). Settene trenger ikke være forskjellige. For eksempel kalles en delmengde av elementer fra A×A en relasjon på A.
Function
Funksjoner er en spesiell type relasjoner. Denne spesielle typen relasjoner beskriver hvordan ett element er tilordnet et annet element i et annet sett eller samme sett. For at relasjonen skal være en funksjon, må to spesifikke krav være oppfylt.
Hvert element i settet der hver mapping starter må ha et tilknyttet/koblet element i det andre settet.
Elementene i settet der kartleggingen starter kan bare assosieres/kobles til ett og kun ett element i det andre settet
Sammen som relasjonen er kartlagt fra er kjent som domene. Settet hvor relasjonen er kartlagt er kjent som Codomain. Delsettet av elementer i codomenet som bare inneholder elementene som er knyttet til relasjonen, er kjent som Range.
Teknisk sett er en funksjon en relasjon mellom to sett, der hvert element i det ene settet er unikt tilordnet et element i det andre.
Vær oppmerksom på følgende
- Hvert element i domenet er tilordnet codomenet.
- Flere elementer i domenet er koblet til samme verdi i codomenet, men et enkelt element fra domenet kan ikke kobles til mer enn ett element i codomenet. (Kartlegging må være unik)
- Hvis hvert enkelt element i domenet er kartlagt til distinkte og unike elementer i codomenet, sies funksjonen å være en "en-til-en" funksjon.
Codomain inneholder andre elementer enn de som er koblet til elementene i domenet. Rekkevidden trenger ikke å være codomenet. Hvis codomenet er lik området, er funksjonen kjent som en "onto"-funksjon
Når verdiene som kan tas av funksjonen er reelle, kalles det en reell funksjon. Elementene i codomain og domene er reelle tall.
Funksjoner er alltid angitt med variabler. Elementene i codomenet er symbolsk representert av variabelen. Notasjonen f(x) representerer elementene i området. Relasjonen kan representeres ved å bruke uttrykket i formen f(x)=x^2. Den sier at elementet til domenet er kartlagt til kvadratet til elementet, innenfor codomenet.
Hva er forskjellen mellom funksjon og relasjon?
• Funksjoner er en spesiell type relasjoner.
• Relasjonen er basert på det kartesiske produktet av to sett.
• Funksjonen er basert på relasjoner med spesifikke egenskaper.
• Domene til en funksjon må tilordnes til codomenet slik at hvert element har en unikt bestemt, tilsvarende verdi i codomenet. Relasjon kan koble enkeltelement til flere verdier.
