Diskret funksjon vs kontinuerlig funksjon
Funksjoner er en av de viktigste klassene av matematiske objekter, som er mye brukt i nesten alle underfelt av matematikk. Som navnene antyder er både diskrete funksjoner og kontinuerlige funksjoner to spesielle typer funksjoner.
En funksjon er en relasjon mellom to sett definert på en slik måte at for hvert element i det første settet er verdien som tilsvarer det i det andre settet unik. La f være en funksjon definert fra mengden A inn i mengden B. Så for hver x ϵ A, angir symbolet f (x) den unike verdien i mengden B som tilsvarer x. Det kalles bildet av x under f. Derfor er en relasjon f fra A til B en funksjon, hvis og bare hvis for, hver xϵ A og y ϵ A; hvis x=y så f (x)=f (y). Mengden A kalles domenet til funksjonen f, og det er mengden funksjonen er definert i.
Tenk for eksempel forholdet f fra R til R definert av f (x)=x + 2 for hver xϵ A. Dette er en funksjon hvis domene er R, som for hvert reelt tall x og y, x=y innebærer f (x)=x + 2=y + 2=f (y). Men relasjonen g fra N til N definert av g (x)=a, hvor 'a' er en primfaktor av x er ikke en funksjon som g (6)=3, så vel som g (6)=2.
Hva er en diskret funksjon?
En diskret funksjon er en funksjon hvis domene maksim alt kan telles. Dette betyr ganske enkelt at det er mulig å lage en liste som inkluderer alle elementene i domenet.
Enhver endelig mengde kan maksim alt telles. Settet med naturlige tall og settet med rasjonelle tall er eksempler på høyst tellbare uendelige mengder. Settet med reelle tall og settet med irrasjonelle tall er ikke på det meste tellbare. Begge settene er utellelige. Det betyr at det er umulig å lage en liste som inkluderer alle elementene i disse settene.
En av de vanligste diskrete funksjonene er faktoriell funksjon. f:N U{0}→N rekursivt definert av f (n)=n f (n-1) for hver n ≥ 1 og f (0)=1 kalles faktoriell funksjon. Vær oppmerksom på at domenet N U{0} på det meste kan telles.
Hva er en kontinuerlig funksjon?
La f være en funksjon slik at for hver k i domenet til f, f (x)→ f (k) som x → k. Da er f en kontinuerlig funksjon. Dette betyr at det er mulig å gjøre f (x) vilkårlig nær f (k) ved å gjøre x tilstrekkelig nær k for hver k i domenet til f.
Tenk på funksjonen f (x)=x + 2 på R. Det kan sees at som x → k, x + 2 → k + 2 som er f (x)→ f (k). Derfor er f en kontinuerlig funksjon. Tenk nå på g på positive reelle tall g (x)=1 hvis x > 0 og g (x)=0 hvis x=0. Da er ikke denne funksjonen en kontinuerlig funksjon siden grensen for g (x) ikke eksisterer (og derfor er den ikke lik g (0)) som x → 0.
Hva er forskjellen mellom diskret og kontinuerlig funksjon?
• En diskret funksjon er en funksjon hvis domene maksim alt kan telles, men det trenger ikke være tilfelle i kontinuerlige funksjoner.
• Alle kontinuerlige funksjoner ƒ har egenskapen at ƒ(x)→ƒ(k) som x → k for hver x og for hver k i domenet til ƒ, men det er ikke tilfelle i enkelte diskrete funksjoner.
