Ortogonal vs Ortonormal
I matematikk brukes de to ordene ortogonal og ortonormal ofte sammen med et sett med vektorer. Her brukes begrepet "vektor" i den forstand at det er et element i et vektorrom - en algebraisk struktur brukt i lineær algebra. For vår diskusjon vil vi vurdere et indre produktrom – et vektorrom V sammen med et indre produkt definert på V.
Som et eksempel, for et indre produkt, er rom settet av alle 3-dimensjonale posisjonsvektorer sammen med det vanlige punktproduktet.
Hva er ortogon alt?
En ikke-tom delmengde S av et indre produktrom V sies å være ortogonal, hvis og bare hvis for hver distinkte u, v i S, [u, v]=0; dvs. det indre produktet av u og v er lik nullskalaren i det indre produktrommet.
For eksempel, i settet med alle 3-dimensjonale posisjonsvektorer, tilsvarer dette å si at for hvert distinkte par med posisjonsvektorer p og q i S, er p og q vinkelrett på hverandre. (Husk at det indre produktet i dette vektorrommet er prikkproduktet. Dessuten er prikkproduktet til to vektorer lik 0 hvis og bare hvis de to vektorene er vinkelrett på hverandre.)
Tenk på settet S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, som er en delmengde av de 3-dimensjonale posisjonsvektorene. Legg merke til at (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0, 5)=0. Derfor er mengden S ortogonal. Spesielt sies to vektorer å være ortogonale hvis deres indre produkt er 0. Derfor er hvert par av vektorer i Sis ortogonale.
Hva er ortonorm alt?
En ikke-tom delmengde S av et indre produktrom V sies å være ortonormal hvis og bare hvis S er ortogonal og for hver vektor u i S, [u, u]=1. Derfor kan det sees at hvert ortonorm alt sett er ortogon alt, men ikke omvendt.
For eksempel, i settet med alle 3-dimensjonale posisjonsvektorer, tilsvarer dette å si at for hvert distinkte par med posisjonsvektorer p og q i S, er p og q vinkelrett på hverandre, og for hver p i S, |p|=1. Dette er fordi betingelsen [p, p]=1 reduseres til p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, som tilsvarer |p |=1. Derfor, gitt et ortogon alt sett, kan vi alltid danne et tilsvarende ortonorm alt sett ved å dele hver vektor med størrelsen.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} er en ortonormal delmengde av settet av alle 3-dimensjonale posisjonsvektorer. Det er lett å se at det ble oppnådd ved å dividere hver av vektorene i settet S, med deres størrelser.
Hva er forskjellen mellom ortogonal og ortonormal?
- En ikke-tom delmengde S av et indre produktrom V sies å være ortogonal, hvis og bare hvis for hver distinkte u, v i S, [u, v]=0. Den er imidlertid ortonormal, hvis og bare hvis en tilleggsbetingelse – for hver vektor u i S, [u, u]=1 er oppfylt.
- Alle ortonormale sett er ortogonale, men ikke omvendt.
- Alle ortogonale sett tilsvarer et unikt ortonorm alt sett, men et ortonorm alt sett kan tilsvare mange ortogonale sett.
